Vorlesung: Algebraische Zahlentheorie I, Wintersemester 2010/2011
Universität Duisburg-Essen (Campus Essen)
Vorlesung
Tag/Uhrzeit
Raum
Kay Rülling/Henrik Russell
Mo 14-16
T03R04D10
Kay Rülling/Henrik Russell
Fr 12-14
T03R04D10
Die erste Vorlesung ist am Montag den 11. Oktober 2010.
Übung
Übungsleiter
Tag/ Uhrzeit
Raum
Andre Chatzistamatiou
Fr 14-16
T03R04D10
Die Übungen werden ab der zweiten Woche gehalten, d.h. die erste Übung findet am Freitag den 22. Oktober statt.
Die Übungsblätter werden der Übung abgegeben.
Übungsblätter
Die Übungsblätter können hier heruntergeladen werden.
Ein Zahlkörper ist eine endliche Erweiterung der rationalen Zahlen; der Ganzheitsring eines Zahlkörpers K sind diejenigen Elemente in
K, die Nullstelle eines normierten Polynoms mit ganzen Koeffizienten sind. Ziel der Vorlesung ist es die Struktur von Zahlkörpern und ihrer
Ganzheitsringe besser zu verstehen. So werden wir insbesondere sehen, dass diese Ganzheitsringe zwar im Allgemeinen keine faktoriellen Ringe sind
(d.h. nicht jedes Element besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung), aber es sind Dedekindringe und somit läßt sich jedes Ideal
in eindeutiger Weise als Produkt von Primidealen schreiben. Wir werden sehen, dass der Übergang von Primelementen zu Primidealen kein zu
großer Sprung ist (die Klassenzahl ist endlich), wir werden die Struktur der Gruppe der multiplikativen Einheiten eines Ganzheitsringes untersuchen
(Dirichletscher Einheitensatz) und Erweiterungen von Dedekindringen studieren. Im zweiten Teil der Vorlesung werden wir dann wahrscheinlich die lokale
Sichtweise untersuchen. Hier besprechen wir Bewertungen und Normen (archimedisch und nicht-archimedisch), sowie Vervollständigungen von Körpern bzgl.
gewisser Normen. Als Spezialfall erhalten wir die p-adischen Zahlen und formale Potenzreihenkörper über einem endlichen Körper
sowie endliche Erweiterungen von solchen (sogenannte lokale Körper).
Wir werden die Struktur der multiplikativen Gruppe von lokalen Körpern bestimmen und - soweit es die Zeit erlaubt - die Erweiterungstheorie lokaler Körper diskutieren.
Unabhängig davon, dass diese Vorlesung eine erste Einführung in die Zahlentheorie ist, sind viele der Konzepte und Methoden, die benutzt werden, auch im Allgemeinen
sehr nützlich in allen Gebieten, die der Algebra, kommutativen Algebra, algebraischen - oder arithmetischen Geometrie angehören.
Voraussetzungen
Lineare Algebra I, II und Algebra I (insbesondere auch Galoistheorie) sowie Analysis I, II.
Literatur
1. J. Neukirch, Algebraische Zahlentheorie, Springer.
2. J.-P. Serre, Local Fields, Springer.
Das Buch von Neukirch kann man hier kapitelweise abrufen, wenn
man unter einer Uni-IP eingeloggt ist (also z.B. von der Bibliothek aus).