BEWERTEN
20 von 25

“Zwei Männer sitzen im Wirtshaus, der eine verdrückt eine Kalbshaxe, der andere trinkt zwei Maß Bier. Statistisch gesehen ist das für jeden eine Maß Bier und eine halbe Haxe, aber der eine hat sich überfressen und der andere ist besoffen.” [1] 

Es gibt unterschiedliche Formen von Mittelwerten: den Median, den Modus/Modalwert, das arithmetische Mittel (auch: Durchschnitt) und gewichtete Mittelwerte. Sie fassen die Datenmengen in einem Ausdruck zusammen und erleichtern so die Beschreibung dieser Datenmengen. Dabei wird jedoch gerne missachtet, dass jeder Mittelwert seine Stärken und Schwächen hat.

Folgendes Video des statistischen Bundesamtes ist besonders mit Mittelwerten gespickt. Werfen Sie eine Blick in “Wie die Zeit vergeht” und vergleichen Sie anschließend anhand der folgenden Tabelle, ob immer die passende Form des Mittelwerts benutzt wurde.

 

 
 
Median
Arithmetisches Mittel
Modus
Gewichtetes Mittel
Median

Der Median ist der Wert in der Mitte des Datensatzes. Dementsprechend ignoriert er wenige besonders große und besonders kleine Werte.
Beispiel: Der Median der Körpergröße einer Gruppe von 5 Personen mit den jeweiligen Körpergrößen:

1,40 m; 1,97 m; 1,82 m; 1,76 m; 1,78 m

beträgt nach Sortierung der Daten hinsichtlich der Größe:
(1,40 m < 1,76 m < 1,78 m < 1,82 m < 1,97 m)
Der Median ist 1,78 m, da dieser Wert in der Mitte der sortierten Werte liegt. Dabei beeinflusst der Ausreißer von 1,40 m nicht den Wert des Medians.

Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel berechnet sich aus der Summe aller Ausprägungen geteilt durch die Anzahl der Ausprägungen. Es wird z. B. durch besonders wenige große Werte beeinflusst.

Beispiel: Das arithmetische Mittel der Körpergröße einer Gruppe von 5 Personen mit den jeweiligen Körpergrößen
1,40 m; 1,97 m; 1,82 m; 1,76 m;1,78 m
beträgt:

(1,40m+1,97m+1,82m+1,76m+1,78m) / 1,718m
Obwohl 4 der 5 Personen größer sind als 1,718 m, wirkt die durchschnittliche Körpergröße nicht besonders groß und bildet demnach die Gruppen-Körpergröße schlecht ab. Grund ist der Ausreißer 1,40 m, der mit einbezogen wird.

Modus

Der Modus stellt die häufigste Ausprägung eines Merkmals dar.
Deshalb kann er als einziger der genannten Mittelwerte genutzt werden, wenn die vorliegenden Erhebungen entweder:

  •  gar kein Ordnen zulassen oder
  • nur ein Ordnen der Ausprägungen, allerdings keine Messung der Unterschiede zulassen.

Außerdem ist er der einzige Mittelwert, von dem auch zwei oder mehr in einer Erhebung auftreten können.


Beispiel: In einer Umfrage werden 7 Personen nach ihrer Lieblingsfarbe gefragt: 2 nennen rot, 2 nennen blau, 1 nennt gelb, 1 nennt grün und 1 nennt violett. Die Farben rot und blau wurden demnach am Häufigsten genannt und stellen die Modi dar. Eine Unterscheidung hinsichtlich besser/schlechter oder größer/kleiner ist jedoch nicht möglich, wodurch kein Median oder ein arithmetisches Mittel berechnet werden kann.

Gewichtetes Mittel

Das arithmetische Mittel behandelt alle Werte gleich, indem die Merkmalssumme durch die Anzahl der Merkmale dividiert wird. Der gewichtete Mittelwert berücksichtigt stattdessen unterschiedliche Anteile der Merkmalsausprägungen: Der Durchschnittslohn innerhalb einer Firma lässt sich demnach entweder als arithmetisches Mittel bestimmen oder als gewichteten Mittelwert, indem die Frauen- und Männeranteile berücksichtigt werden.
Beispiel: Firma A zahlt den weiblichen Mitarbeitern 15 € pro Stunde, während die männlichen Mitarbeiter 22 € pro Stunde verdienen. Das arithmetische Mittel der beiden Löhne liegt bei einem Durchschnittslohn von
(15€+22€)/2=18,5€

Berücksichtig man hingegen, dass in Firma A 4 Frauen und 1 Mann arbeiten und gewichtet dadurch mithilfe des Frauenanteiles (4 von 5 = 4/5 = 0,8 = 80%) und des Männeranteils (1 von 5 = 1/5 = 0,2 = 20%) ergibt sich ein gewichteter Durchschnittslohn von 
0,8*15€ + 0,2*22€ = 16,40€


Vgl. Krämer, Walter (2013). So lügt man mit Statistik. München: Piper. S. 72 f.

 
 
Mittelwerte sind nur eine Möglichkeit, einen Datensatz zu beschreiben. Da sie die Streuung der Daten wenig berücksichtigen, sollten Sie zusätzlich durch Streuungsmaße (z. B. Spannweite, Varianz, Standardabweichung) ergänzt werden, um eine Aussage über den Datensatz zu treffen.

 

Zurück  Trügerische Trends


[1] Josef Strauß zitiert nach Krämer, Walter (2015): So lügt man mit Statistik. Frankfurt am Main: Campus. S. 63.