Vorlesungsplan

Beschreibung

Im Zentrum dieser Vorlesung steht der Begriff der Krümmung.

Eine (reguläre) glatte ebene Kurve lässt sich in jedem Punkt durch einen eindeutig bestimmten Schmiegkreis mit Radius R ∈ (0,∞] approximieren, dessen Kehrwert 1/R als (unsignierte) Krümmung bezeichnet wird. Ist die Kurve nach der Bogenlänge parametrisiert, so ist dies gerade die Norm der zweiten Ableitung, also ein Maß dafür, wie schnell sich der Tangentenvektor ändert. Dieses Konzept überträgt sich somit auch auf Raumkurven.

Durch Integration über alle Punkte der Kurve bildet man einen Mittelwert, die Totalkrümmung, der man wichtige Informationen über die Kurve entnehmen kann.

Das erste Hauptresultat ist die Herleitung unterer Schranken an die Totalkrümmung allgemeiner geschlossener Kurven (Satz von Fenchel) bzw. verknoteter Kurven (Satz von Fáry-Milnor).

Für den Spezialfall einfach geschlossener planarer Kurven beweisen wir den Umlaufsatz von Hopf, dem zufolge die signierte Totalkrümmung stets den Wert ±2π annimmt.

Im Anschluss werden wir uns mit parametrisierten Flächenstücken beschäftigen. Hier stehen zunächst lokale Begriffe wie die Tangentialebene, die erste Fundamentalform und die Gauß-Abbildung im Vordergrund.

Um einen Krümmungsbegriff für Flächen zu erhalten, kann man Kurven betrachten, die vollständig in der Fläche verlaufen. Die Krümmung in einem Kurvenpunkt lässt sich nun in einen tangentialen, von der Kurve selbst bestimmten Anteil und einen normalen, von der Fläche beeinflussten Anteil zerlegen. Letzterer hängt nur von der Tangentenrichtung der Kurve ab. Kenngrößen sind die Hauptkrümmungen, die sich aus der Gauß-Abbildung gewinnen lassen. Ihr Produkt wird Gauß-Krümmung genannt.

Hieran schließt sich die Behandlung der inneren Geometrie an. Besprochen werden die kovariante Ableitung, Geodätische und das Theorema Egregium von Gauß.

Wir erreichen mit dem Satz von Gauß-Bonnet das zweite Hauptresultat dieser Vorlesung, dem zufolge das Mittel der Gauß-Krümmung einer geschlossenen kompakten zweidimensionalen orientierbaren Fläche nur von der Euler-Charakteristik abhängt, also durch die topologische Gestalt der Fläche vollständig bestimmt ist.

Literatur zur Vorlesung