Wir möchten uns in diesem Proseminar mit der Frage nach Differenzierbarkeit von Integralen beschäftigen.

• Ist f ε C⁰([a,b]) und F(x) := ∫_a^x f(ξ) dξ, so gilt F ε C¹ und F' = f auf [a,b].
• Umgekehrt ist für g ε C¹([a,b]) stets g(x) - g(a) = ∫_a^x g'(ξ) dξ.

Inwiefern gelten diese Beziehungen auch für unstetige f bzw. g' ? An welchen Punkten stimmt die Ableitung eines Integrals mit dem Integranden überein? Gilt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung auch unter schwächeren Voraussetzungen?

Als Anwendung wird die isoperimetrische Ungleichung für rektifizierbare Kurven bewiesen. Wird der Rand einer offenen beschränkten Menge Ω in der Ebene durch eine rektifizierbare Kurve der Länge L beschrieben, so genügt der Flächeninhalt |Ω| der Abschätzung 4π|Ω| ≤ L².

Themen

1. Differentation des Integrals
2. Approximation von Funktionen
3. Funktionen von beschränkter Variation
4. Absolutstetige Funktionen
5. Rektifizierbare Kurven
6. Die isoperimetrische Ungleichung

Literatur

Elias M. Stein und Rami Shakarchi, Real Analysis, Princeton University Press, 2005