Vektorräume mit Skalarprodukten treten in vielen Bereichen der Analysis und ihrer Anwendungen auf, beispielsweise in der Fourier-Analysis, der Quantenmechanik und der Theorie partieller Differentialgleichungen. Wenn diese zudem vollständig sind, spricht man von Hilberträumen. Sie können als natürliche Verallgemeinerung endlich-dimensionaler Vektorräume angesehen werden.

Beispiele sind der n-dimensionale euklidische Raum ℝn, der n-dimensionale hermitesche Raum ℂn sowie im unendlich-dimensionalen Fall der Raum L2(a,b) der quadratintegrierbaren Funktionen auf dem Intervall (a,b) und der Raum der quadratisch summierbaren Folgen ℓ2(ℤ).

Auch im unendlich-dimensionalen Fall erhalten sich wesentliche Eigenschaften aus der Linearen Algebra, vor allem der Begriff der Orthogonalität. Eine wichtige Rolle spielen lineare und beschränkte Abbildungen zwischen Hilberträumen und deren Adjungierte.

Obgleich alle separablen unendlich-dimensionalen Hilberträume isometrisch isomorph zu ℓ2(ℤ) sind, können sie sich in ihren Realisierungen erheblich unterscheiden. Insofern lässt sich die für abstrakte Hilberträume entwickelte Theorie in ganz unterschiedlichen Situationen einsetzen.

Gegenstand dieses Proseminars ist eine Einführung in die Theorie der Hilberträume und deren Anwendung auf Fourier-Transformation und Differentialgleichungen.

Voraussetzungen

Gute Kenntnisse in Analysis 1 und 2 sowie Lineare Algebra 1.
Der parallele Besuch der Vorlesung Analysis 3 wird empfohlen.

Literatur

Elias M. Stein und Rami Shakarchi, Real Analysis, Princeton University Press, 2005
Stefan Hildebrandt, Analysis 1, Springer, 2. Aufl., 2006
Stefan Hildebrandt, Analysis 2, Springer, 2003

Vorbesprechung

Eine Vorbesprechung mit Vergabe der Vortragsthemen hat am Montag, den 28. Juli stattgefunden.

Es sind noch Themen frei. Bei Interesse setzen Sie sich bitte per E-Mail mit dem Dozenten in Verbindung.

Es sind noch Themen frei. Bei Interesse kommen Sie bitte zur ersten Sitzung.

Dozent
Philipp Reiter
Sprechstunde nach Vereinbarung

Seminartermine
Dienstag, 16 Uhr c. t.
WSC-N-U-4.03
erste Sitzung am 14. Oktober 2014

Zielgruppe
Bachelor ab 3. Semester
andere Studiengänge nach Absprache

Modulprüfung
mündlicher Vortrag
Mitarbeit bei allen Sitzungen
(3 Kreditpunkte, unbenotet)