UNIKATE 53 - Mathematik - Herausforderung des NichtlinearenUNIKATE 53 - Mathematik - Herausforderung des Nichtlinearen
UNIKATE 53 - Mathematik - Herausforderung des Nichtlinearen

Verehrte Leser*innen,

dieser Band stellt eine Momentaufnahme der Mathematik im Jahre 2018 aus Essener Sicht dar. Dabei sind die Forschungsschwerpunkte unserer Fakultät – zum Teil mehrfach – vertreten: Algebraische Geometrie, Didaktik, Analysis, Optimierung, Stochastik und Numerik. Diese Reihenfolge und die damit verbundene Anordnung der Beiträge führt zu einer Reise durch die Mathematik von eher abstrakten zu eher angewandten Themen.

Ein wichtiger Aspekt mathematischer Forschung ist die Ergründung übergeordneter Strukturen, die sich vielfach in teils völlig unterschiedlichen Gebieten anwenden lassen. Mathematischen Modellen auf der Basis partieller Differentialgleichungen begegnet man in der Strömungsmechanik genauso wie bei modernen Methoden der Bildverarbeitung. Und die zugrundeliegenden Resultate aus der Variationsrechnung sind erstaunlich ähnlich. Oft ist mathematische Forschung durch solchen Anwendungsbezug motiviert und orientiert sich an konkreten Fragestellungen aus den Natur- und Ingenieurwissenschaften. Im Blickpunkt steht für den*die Mathematiker*in dabei die innere Struktur der Abhängigkeiten der beschriebenen physikalischen Prozesse. Losgelöst von den technischen Details der konkreten Anwendung lassen sich mathematische Objekte und deren Zusammenhang untersuchen. Die hierbei bewiesenen abstrakten Aussagen lassen sich nicht selten dann wieder auf andere Situationen anwenden.

Die meisten relevanten Prozesse in Natur und Technik sind genau wie die interessanten Zusammenhänge in der Mathematik nichtlinear. Lineare mathematische Modelle sind dagegen in der Regel eher langweilig. Übersetzt in das Anwendungsgebiet Mechanik würde dies beispielsweise bedeuten, dass eine Verdopplung der ausgeübten Kraft auch die doppelte Verformung nach sich zieht. Um festzustellen, dass dies nicht besonders gut mit der Realität übereinstimmt, muss man sich nicht einmal vom Schreibtisch weg bewegen. Es reicht völlig, einen Radiergummi fest zu drücken oder eine Büroklammer zu verbiegen. Bei kleinen Kräften wird sich die Büroklammer nach dem Loslassen wieder in den Ausgangszustand zurück bewegen, bei größeren Kräften bleibt sie dauerhaft verformt. Nichtlinearitäten treten in der Mathematik in vielfältigen Formen auf und sollen daher als roter Faden dieses Heftes dienen.

In der algebraischen Geometrie werden, grob gesprochen, Lösungsmengen nichtlinearer Gleichungen in Verbindung mit algebraischen Strukturen gebracht. Oft ergeben sich überraschende Zusammenhänge zwischen verschiedenen mathematischen Teilgebieten. Recht prominent ist beispielsweise das sogenannte Langlands-Programm, bei dem Aus-

sagen aus der Zahlentheorie mit der Darstellungstheorie von Gruppen in Verbindung gebracht werden. Ebenso unerwartet lassen sich zahlentheoretische Methoden zur Bestimmung von Singularitäten von Higgs-Bündeln aus der theoretischen Physik einsetzen. Diese unerwarteten Querverbindungen lassen sich nutzen, um offene Fragen in einem Teilgebiet der Mathematik mit bereits etablierten Methoden aus dem jeweils anderen anzugehen.

Interessant ist in diesem Zusammenhang auch, wie solche abstrakten mathematischen Konzepte im menschlichen Gehirn verarbeitet werden. Die Arbeitsgruppen der Didaktik der Mathematik beschäftigen sich hier mit der Fragestellung, was in der Schule zum tiefliegenden Verständnis mathematischer Zusammenhänge nötig ist.

Die Verbindung zwischen Geometrie und der Analysis von Differentialgleichungen äußert sich beispielsweise bei der Untersuchung von Symmetrieeigenschaften. Oftmals sind praxisrelevante Differentialgleichungen nicht nur nichtlinear, sondern auch nichtglatt. Dies klingt auf den ersten Blick merkwürdig, da man nichtglatte Funktionen ja eben nicht differenzieren kann und Differentialgleichungen somit keinen Sinn zu machen scheinen. Eine Verallgemeinerung des Begriffs der Ableitung führt aber dazu, dass sich gerade die besonders interessanten nichtglatten Bereiche von Lösungen entsprechender Differentialgleichungen deutlich abzeichnen. Moderne Algorithmen zur Bilderkennung basieren auf solchen mathematischen Prinzipien, die sich auch als Optimierungsproblem auffassen lassen. Vorsicht ist beim Umformulieren nichtlinearer Optimierungsprobleme geboten, da man unter Umständen Lösungen verlieren kann.

UNIKATE 53 - Gerhard Starke

Gerhard Starke. Foto: Vladimir Unkovic

Ganz andere nichtlineare Zusammenhänge treten in der Stochastik auf, wenn es um die Lösung von Entscheidungsproblemen mittels tiefer neuronaler Netzwerke geht. In der Evolutionsbiologie spielen wahrscheinlichkeitstheoretische Modelle ebenfalls eine wichtige Rolle, etwa bei der Fragestellung, inwieweit Altruismus für das Fortbestehen einer Population förderlich ist.

Wandernde und pulsierende Wellen in Wasser und Feststoffen können sich sehr unerwartet verhalten, was sich wiederum mit der Modellierung mittels nichtlinearer Differentialgleichungen erklären lässt. Ähnliches gilt für die mathematische Beschreibung des Verhaltens von Packeis, bei der nichtlineare Modelle aus der Strömungs- und aus der Festkörpermechanik kombiniert werden. Und schließlich führt die optimale Beeinflussung von elektromagnetischen Feldern zur Generierung supraleitender Materialien auf hochgradig nichtlineare Fragestellungen.

Abschließend soll noch darauf hingewiesen werden, dass diese Auswahl von Themen zwar eine große Breite besitzt, aber durchgehend Forschungsfragen der Mathematik auf der Höhe der Zeit behandelt. Bei allen Beiträgen leitet mindestens einer der Verfasser derzeit ein Drittmittelprojekt mit Bezug zur jeweils vorgestellten Thematik, teilweise im Rahmen von umfassenderen Forschungsverbünden wie Schwerpunktprogrammen, Sonderforschungsbereichen oder Graduiertenkollegs.

 

Bleibt mir nur noch, Ihnen eine inspirierende Lektüre zu wünschen!


Gerhard Starke
Dekan der Fakultät für
Mathematik 2016–18


Von der Antike bis heute

Zahlentheorie ist ein Gebiet der Mathematik, das sich mit der Lösung von algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten beschäftigt.

Sie befasst sich mit einer großen Anzahl von Problemen, die meist scheinbar einfach und elementar sind, aber manchmal sehr schwierig zu lösen.


Aktuelle Trends in der modularen Darstellungstheorie

Gebäude sind mathematische Objekte, die Geometrie und Algebra auf faszinierende Weise in sich vereinen. Dieser Beitrag gibt einen Einblick in diese Theorie und erklärt ihren Einfluss auf neuere Entwicklungen in der mathematischen Grundlagenforschung.


Vom Kreisel zur Zahlentheorie

Mathematische Objekte treten oftmals in ganz unterschiedlichen Zusammenhängen auf. Dieser Beitrag erzählt, wie Ideen der Zahlentheorie, der Geometrie und der mathematischen Physik beim Studium von Higgsbündeln überraschende Verbindungen finden.


Zur Illusion von Linearität und anderen Hürden beim Funktionalen Denken

Am Ende der Schulzeit bleiben bei vielen Schüler*innen oft nur leere Begriffshülsen mathematischer Konzepte. Um hier Abhilfe zu schaffen, müssen Lernende den inhaltlichen Kern der Begriffe wirklich verstehen. Wie dies gelingen kann und welche Hürden Schüler*innen dabei nehmen müssen, erläutert der Artikel am Beispiel des Funktionsbegriffs.


Lösungen nichtlinearer Differentialgleichungen

Mathematiker*innen beschäftigen sich gern mit Gleichungen, die zu kompliziert sind, als dass man sie mit herkömmlichen Methoden lösen könnte. Ein möglicher Zugang zu solchen Problemen besteht darin, nach Symmetrien zu suchen, die die Lösung vereinfachen.


Nichtlinearität und andere Hindernisse

Der Fluss zur Totalvariation wird für viele Algorithmen aus der modernen Bildverarbeitung verwendet. Vor Kurzem ist nun die Herleitung eines Existenzresultates für das Hindernisproblem zu diesem Fluss gelungen, unter Verwendung von klassischen Konzepten aus der geometrischen Maßtheorie, die über 40 Jahre alt sind.


Nichtglatte Optimierung in der Bildverarbeitung

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Verschwundene Minima in der nichtlinearen Optimierung

Bei vielen Dingen des täglichen Lebens, bei technologischen Prozessen oder auch in der Wirtschaft will man ein Optimum finden. Das betrifft etwa den minimalen Energieverbrauch bei der Herstellung eines Produkts, die kürzeste Zeit, um von einem Punkt zu einem anderen zu gelangen oder die Gewinnmaximierung in einem Unternehmen. Bei vielen dieser Optimierungsaufgaben spielt Mathematik eine große Rolle.


Approximative dynamische Programmierung mit tiefen neuronalen Netzwerken

Entscheidungen begleiten uns im Alltag. Wenn Sie zum Beispiel eine Ware im Laden kaufen, entscheiden Sie sich für eine Marke. Wenn Sie das Haus verlassen, entscheiden Sie darüber, was Sie anziehen sollen. Oft treffen die Leute Entscheidungen anhand der unvollständigen oder unsicheren Information (zum Beispiel anhand der Information auf Etiketten oder der Wettervorhersage). Was ist eine optimale Entscheidung unter diesen Umständen? Wie soll man handeln um diese optimale Entscheidung zu treffen? All diese Fragen beantwortet die mathematische Entscheidungstheorie.


Ohne Zufall keine Evolution

Martin Hutzenthaler und Anita Winter erläutern an Beispielen motiviert durch die Evolutionsbiologie, wie in der Wahrscheinlichkeitstheorie die Grundlagen für anwendbare Mathematik gelegt werden.


Wasserwellen und weitere Beispiele wandernder Wellen

Wasserwellen faszinieren Menschen seit den frühen Kulturen. Wir geben einen kurzen Abriss der mathematischen Theorie der Wasserwellen und ihrer Entstehung. Aus mathematischer Sicht sind Wasserwellen sogenannte “traveling waves”, welche auch für die Feststoffverbrennung und die Verbrennungssynthese von Bedeutung sind, auf deren Musterbildung wir kurz eingehen. Schließlich beschreiben wir Erweiterungen der traveling waves auf allgemeinere Konzepte wie pulsating waves und transition waves, die gegenwärtig in unserer Arbeitsgruppe untersucht werden.


Eine Herausforderung an Mathematik und Mechanik

Die Eisflächen der Erde spielen, wegen deren Fähigkeit, mehr als die Hälfte der einfallenden Sonneneinstrahlung zu reflektieren, eine sehr wichtige Rolle für unser Klima. Somit ist auch ihre voraussagende Berechnung wichtig. Eine fächerübergreifende Zusammenarbeit der Mathematiker*innen mit Ingenieur*innen kann die sogenannte Finite-Elemente-Methode auf den Bereich der Simulation von Eisoberflächen erweitern.


Ohne elektrischen Widerstand auf dem Weg zur Energieversorgung von morgen

Elektromobilität wird Ballungsgebiete vor erhebliche infrastrukturelle Probleme stellen: Mit mehr Elektroautos auf den Straßen wird auch der Stromverbrauch in den Wohngebieten und Innenstädten rasant steigen. Welche Antworten die Physik bietet und inwiefern die moderne Mathematik zu einem besseren Verständnis dieser hochkomplexen Phänomene verhelfen kann, möchten wir in diesem Artikel diskutieren.