| Lernziele: |
Die Studierenden erlernen zunächst die Eigenschaften und die Methoden zur Berechnung von Determinanten. Diese Kenntnisse werden durch Anwendungsbeispiele zusätzlich vertieft (Cramersche Regel, Berechnung inverser Matrizen). Anschließend erfolgt eine Einführung in die Theorie der Eigenwerte und Eigenvektoren. Die Studierenden lernen, die Eigenwerte von Matrizen und die zugehörigen Eigenräume zu bestimmen.
Anhand der Teilbarkeitseigenschaften ganzer Zahlen werden die Grundzüge der Ring- und Idealtheorie erarbeitet (Hauptidealringe, euklidische Ringe, Primideale). In diesem Zusammenhang wird der Begriff des größten gemeinsamen Teilers und dessen Berechnung mittels des Euklidischen Algorithmus‘ erörtert. Die Behandlung der primen Restklassengruppen, diophantischer Gleichungen und des Chinesischen Restsatzes erzielen einen sicheren Umgang mit den zuvor erlernten Konzepten. Im weiteren Verlauf der Veranstaltung erwerben die Studierenden grundlegende Kenntnisse im Bereich der endlichen und endlich erzeugten Gruppen (zyklische Gruppen, Satz von Laplace, kleiner Fermatscher Satz, Satz von Euler). Das im Anschluss daran vorgestellte RSA Kryptoverfahren demonstriert eine praktische Anwendung der Gruppentheorie.
Nach Einführung der grundlegenden Begriffe der Körpertheorie (Charakteristik, Primkörper, Körpererweiterung) werden die Eigenschaften endlicher Körper dargestellt und deren Existenz nachgewiesen.
Anschließend werden die grundlegenden Konzepte und Methoden der Kombinatorik vorgestellt und anhand des Urnenmodells erläutert.
Eine Einführung in die Codierungstheorie bildet den Abschluss der Veranstaltung. Dazu werden zunächst die wesentlichen Fragestellungen und Konzepte der Codierung erörtert (Quell-/Kanalcodierung, Block Codes, Maximum Likelihood/Minimum Distance Decoding, Hamming-Abstand, Fehlererkennung, Fehlerkorrektur, Kugelpackungsschranke). Die linearen Codes bieten schließlich die Gelegenheit, sämtliche bisher erlernten Stoffgebiete anzuwenden.
Begleitend zur Vorlesung werden Übungen angeboten, in denen der erlernte Stoff anhand von Übungsaufgaben und weiteren Beispielen vertieft wird. |
| Literatur: |
- W. Dörfler: Mathematik für Informatiker I, Hanser, München 1977
- D. Lau: Algebra und Diskrete Mathematik 1, Springer, Berlin Heidelberg 2004
- D. Lau: Algebra und Diskrete Mathematik 2, Springer, Berlin Heidelberg 2004
- H.-J. Reiffen, G. Scheja, U. Vetter: Algebra, BI Verlag, Mannheim 1984 |
