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Lecture and Excercise. Your Solutions to the excercises will be corrected and discussed.
Es werden wöchentlich Übungsaufgaben zu dem in der Vorlesung behandelten Stoff gestellt, die von den Studierenden schriftlich bearbeitet werden sollen. Die Lösungen werden korrigiert und in den Übungsstunden entweder von den Studierenden selbst oder dem Übungsgruppenleiter vorgerechnet.
Die Vorlesung vermittelt Grundlagen der Algebra und diskreten Mathematik. Inhalte im Einzelnen:
Die Studierenden erlernen zunächst die Eigenschaften und die Methoden zur Berechnung von Determinanten. Diese Kenntnisse werden durch Anwendungsbeispiele zusätzlich vertieft (Cramersche Regel, Berechnung inverser Matrizen). Anschließend erfolgt eine Einführung in die Theorie der Eigenwerte und Eigenvektoren. Die Studierenden lernen, dieEigenwerte von Matrizen und die zugehörigen Eigenräume zu bestimmen. Anhand der Teilbarkeitseigenschaften ganzer Zahlen werden die Grundzüge der Ring- und Idealtheorie erarbeitet (Hauptidealringe, euklidische Ringe, Primideale). In diesem Zusammenhang wird der Begriff des größten gemeinsamen Teilers und dessen Berechnung mittels des Euklidischen Algorithmus‘ erörtert. Die Behandlung der primen Restklassengruppen und diophantischer Gleichungen erzielen einen sicheren Umgang mit den zuvor erlernten Konzepten. Im weiteren Verlauf der Veranstaltung erwerben die Studierenden grundlegende Kenntnisse im Bereich der endlichen und endlich erzeugten Gruppen (zyklische Gruppen, Satz von Laplace, kleiner Fermatscher Satz, Satz von Euler). Das im letzten Teil der Vorlesung vorgestellte RSA Kryptoverfahren demonstriert eine praktische Anwendung der Gruppentheorie. Weiterhin werden die Eigenschaften endlicher Körper dargestellt und deren Existenz nachgewiesen. Eine Einführung in die Codierungstheorie bildet den Abschluss der Veranstaltung. Dazu werden zunächst die wesentlichen Fragestellungen und Konzepte der Codierungerörtert (Quell-/Kanalcodierung, Block Codes, Maximum Likelihood/Minimum Distance Decoding, Hamming-Abstand,Fehlererkennung, Fehlerkorrektur, Kugelpackungsschranke). Die linearen Codes bieten schließlich die Gelegenheit, sämtliche bisher erlernten Stoffgebiete anzuwenden.
This course covers the foundations of algebra and discrete mathematics.
At the beginning, the students will be introduced in methods to calculate determinants. We will see application examples as cramer rule and the calculation of the inverse of special matrices.
Subsequent an introduction in the theory of eigenvalues and eigenvectors will be given.
On the basis of properties of division of integers, the main features of ring and ideal theory will be developed. In this context the greates comon divisor and its calculation via the euclidiean algorithm will be discussed.
In the next part of the lecture the RSA cryptography demonstrates a practical application of the group theory.
We will focus on finite fields to be able to use them when talking about codes in the very last chapter of this lecture. Linear codes give an opportunity to bring together the theory of linear algebra and this very interessting application.
In addition to the lecture we will offer excercises to consolidate and deepen the topics mentioned above.
