Continuum Mechanics
Continuum Mechanics

Im Rahmen des Moduls werden die kontinuumsmechnischen Grundlagen zur Beschreibung der thermomechanischen Verhaltens verschiedener Materialien behandelt. Aufbauend auf der Kinematik werden Deformationsmaße formuliert. Der Schwerpunkt der Veranstaltung liegt auf der Formulierung der Feldgleichung (Bilanzgleichungen) hinsichtlich der Beschreibung des Verhaltens von Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen. Die Inhalte des Moduls sind wie folgt gegliedert:
• Kinematik
– Bewegung; Transporttheoreme; Deformations- und Verzerrungsmaße, Deformations- und Verzerrungsgeschwindigkeiten, Lie Ableitungen, Polar Zerlegung, Spektral Zerlegung
• Kräfte und Spannungen
– Cauchyscher und Kirchhoffscher Spannungstensor, Piola-Kirchhoffsche Spannungstensoren
• Bilanzgleichungen und Entropieungleichung
– Massenbilanz, Bilanz der Bewegungsgröße, Drallbilanz, Energiebilanz (1. Hauptsatz der Thermodynamik, Entropieungleichung (2. Hauptsatz der Thermodynamik)

Die Anwendungsmöglichkeiten der einzelnen Feldgleichungen werden anhand von relevanten Problemstellungen unter Einbeziehung von einfachen Materialgesetzen aufgezeigt und diskutiert.

Die Studierenden erlernen in der Vorlesung die Fähigkeit, das mechanische Verhalten von Materialien mit Hilfe der Kontinuumsmechanik komplex darzustellen. Zu Beginn werden die aus dem Bachelor-Studiengang bekannten mechanischen Größen wie Verzerrungen und Spannungen im Rahmen einer kontinuumsmechanischen Darstellung formuliert. Die Studierenden erlernen hierdurch die Fähigkeit zur Abstraktion mechanischer Größen. Hiernach werden aus den Bilanzgleichungen die klassischen statischen und dynamischen Gleichgewichtsbeziehungen hergeleitet. Die Studierenden erlernen damit die Fähigkeit, aus den abstrakten Formulierungen der Kontinuumsmechanik konkrete Rand- und Anfangswertprobleme zu formulieren. Am Ende werden einfache Materialgleichungen besprochen und die Anwendungsmöglichkeiten der einzelnen Feldgleichungen aufgezeigt und diskutiert.

Die Studierenden beherrschen

• Grundlagen der Vektor- und Tensorrechnung,
• die globalen und lokalen Formen der Bilanzen (Lagrangesche und Eulersche Formulierungen),
• können lokale Deformationen berechnen (Streckungen und Rotationen) und
• die schwache Form der Bilanz der Bewegungsgröße formulieren und ein 2-D-Randwertproblem im Rahmen der Festkörpermechanik numerisch umsetzen.

Holzapfel, G.A.: Nonlinear solid mechanics. Wiley, 2000.
Hutter, K. & Jöhnk, K.: Continuum Methods of Physical Modeling-Continuum Mechanics, Dimensional Analysis, Turbulence. Springer, 2004.
Müller, I.: Grundzüge der Thermodynamik. Springer, 1994.
Wilmanski, K.: Thermomechanics of continua. Springer, 1998.

Lineare FEM

The lecture will be supplemented by exercises given during tutorial sessions. The aim of these exercises is the development of a Maple-Code to calculate the deformations, the strains and the stresses by using a plane element. In addition the weak form of the balance equation of momentum for a plane strain element will be derived.

In the framework of this module the continuum mechanical foundations are treated to describe the thermodynamical material behavior of several materials. Based on the kinematic, deformation measurements are introduced. The focus of this lecture are the balance laws of continuum mechanics to describe the behavior of solids, fluids and gases. The contents of the module are:

• Kinematics: Motion, Transport theorems, Deformations and strain measurements Deformations and strain velocities, Lie Derivation, Polar Decomposition, Spectral Decomposition
• Forces and stresses, Cauchy‘s lemma and theorem, Cauchy, Kirchhoff and Piola-Kirchhoff stress tensors
• Balance equations and entropy inequality Thermodynamic Modeling, Balance equation of mass, Balance equation of momentum, Balance equation of moment of momentum, Balance equation of energy (first law of thermodynamics), Entropy inequality (second law of thermodynamics)

The opportunities of application of the single field equations are presented in form of relevant problems and concerning simple material laws.

In the lecture students will acquire the skills necessary to describe the mechanical behavior of materials with the help of continuum mechanics. First, representations using familiar mechanical quantities from the bachelor study (i.e. stress and strain) will be formulated within the framework of continuum mechanics. Through this, students will acquire the skills for the abstraction of mechanical variables. Hereafter, the classical static and dynamic equilibrium relations will be derived from the balance equations. This will enable students to formulate concrete boundary-and-initial value problems out of the abstract formulations of continuum mechanics. Lastly, simple elastic material equations and the application possibilities of these field equations will be.

Holzapfel, G.A.: Nonlinear solid mechanics. Wiley, 2000.
Hutter, K. & Jöhnk, K.: Continuum Methods of Physical Modeling-Continuum Mechanics, Dimensional Analysis, Turbulence. Springer, 2004.
Müller, I.: Grundzüge der Thermodynamik. Springer, 1994.
Wilmanski, K.: Thermomechanics of continua. Springer, 1998.

The lecture will be supplemented by exercises given during tutorial sessions. The aim of these exercises is the development of a Maple-Code to calculate the deformations, the strains and the stresses by using a plane element. In addition the weak form of the balance equation of momentum for a plane strain element will be derived.