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                                Séminaire commun d’algèbre et géométries Lyon-Grenoble.


La deuxième rencontre bi-annuelle Lyon-Grenoble aura lieu le lundi 27 novembre à l’Institut Fourier en salle 4. Le programme de cette journée est le suivant:


10.00-11.00 Olivier Benoist (Strasbourg): Densité des sommes de trois carrés


Hilbert a démontré qu'un polynôme réel en deux variables qui prend des valeurs positives est somme de quatre carrés de fractions rationnelles. Cassels, Ellison et Pfister ont montré que ce résultat est optimal : il existe de tels polynômes qui ne sont pas sommes de trois carrés de fractions rationnelles. Dans cet exposé, nous expliquerons pourquoi les polynômes qui peuvent s'écrire comme sommes de trois carrés sont denses dans l'ensemble de ceux qui sont positifs.


11.30-12.30 Bruno Kahn (Paris): Structures d’effectivité et monoïdes tannakiens.


Diverses catégories tensorielles rigides, notamment les catégories de motifs, sont munies naturellement d’une « structure d’effectivité »; quand la catégorie en question est tannakienne (disons) neutre, cela fournit une enveloppe de son groupe tannakien qui est un schéma en monoïdes affine. Curieusement, cette situation ne semble pas avoir été étudiée. Je tenterai de présenter un cadre axiomatique convenable, donnerai quelques théorèmes de structure et expliquerai des applications potentielles.


12.30-14.00 Déjeûner


14.00-15.00 Marcello Bernardara (Toulouse): Fibrations en variétés de Segre et en del Pezzo de degré 6


Dans cet exposé, j'expliquerai comment construire, pour une variété lisse B, une fibration (propre et plate) X --> B dont la fibre générale est isomorphe à P2 x P2 et telle que la variété X est lisse. Des tels fibrations sont identifiées par un revêtement S --> B, ramifié le long du diviseur paramétrant les fibres singulières, et par une algèbre d'Azumaya A de degré 3 sur S munie d'une involution. Ceci permet aussi de construire toute fibration Y --> B en surfaces de del Pezzo de degré 6 sur B. De plus, on peut décrire une décomposition semiorthogonale de D(X) qui devrait permettre de retrouver la décomposition de D(Y) donnée par Kuznetsov. Il s'agit d'un travail en cours en collaboration avec Addington, Auel et Faenzi.


15.30-16.30 Eva Bayer (Lausanne): Le principe de Hasse pour les équations multinormes


(travail en commun avec Tingyu Lee et R. Parimala)

D'après Hasse, le "principe de norme" vaut pour les extensions cycliques de corps de nombres, autrement dit tout élément du corps de base qui est localement une norme est une norme globale. Nous étudions une question analogue dans le cas plus général d'une extension finie étale; comme une telle extension est un produit de corps, cela conduit à des produits de normes, d'où le terme de "multinorme". Lorsque l'un de ces corps est une extension cyclique, nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour que le principe soit valable.