HS "Philosophie in der modernen Beweistheorie" (SoSe 2005)
HS "Solomon Feferman's Beweistheorie und Philosophie" (SoSe 2007)

HS „Philosophie in der modernen Beweistheorie“  (Mittwoch, 12-14 Uhr)

Innerhalb der Mathematikphilosophie finden sich konstant viele Bezüge zur und Verweise auf die Beweistheorie. Allerdings wird diese Bezugnahme immer noch dominiert durch eine fast ausschließliche Fixierung auf das Hilbertprogramm und Gödels Sätze VIII und XI aus dem Jahre 1931. Nachfolgende Entwicklungen werden indes von mathematikphilosophischer Seite aus (noch) nicht mit der gebührenden Aufmerksamkeit bedacht. Doch vor allem in der modernen Beweistheorie finden sich Programme, die im Hinblick auf die gewählten erkenntnisleitenden Fragen hoch erfolgreich sind. Dabei mag es den Interessierten positiv überraschen, dass der Aufbau dieser beweistheoretischen Programme, deren Zielsetzung und Mittelwahl und schließlich auch deren geltungstheoretische Deutung der erzielten Resultate philosophisch überaus reflektiert erfolgt. Wir werden uns im Seminar vor allem mit den Programmen der reduktiven Beweistheorie und Reverse Mathematics auseinandersetzen, um zu explizieren, an welchen Stellen wissenschaftstheoretische Argumente formuliert werden und inwiefern programmimmanente mathematikphilosophische Reflexionen Einfluss auf den Erfolg dieser Programme nehmen. Ein Ziel des Seminars besteht freilich darin, die Teilnehmerinnen und Teilnehmer mit charakteristischen Vorgehensweisen und ausgewählten zentralen Resultaten dieser Ansätze vertraut zu machen. Die Realisierung dieses Ziels dient schließlich dem Seminarzweck, dass die Teilnehmerinnen und Teilnehmer exemplarisch sehen, in welchem Umfang und mit welchem Anspruch mathematikphilosophische Reflexionen Eingang in die beweistheoretische Praxis finden.
Die ersten Sitzungen des Seminars dienen der Lektürevorbereitung und werden durch ein entsprechendes Skript begleitet. Interessierte werden daher gebeten, sich bereits in der vorlesungsfreien Zeit (Februar/März 2005) beim Seminarleiter zu melden. Es wird bereits Ende März eine Vorbesprechung stattfinden, in der unter anderem über den Lektüremodus des begleitenden Skriptes gesprochen wird.
Anmeldung schriftlich bitte an matthias.wille@uni-essen.de
oder persönlich zur Sprechstunde (Dienstag, 11-12 Uhr)

Als Zugangsvoraussetzungen für die Teilnahme sei lediglich festgehalten, dass großes persönliches Engagement ebenso erforderlich ist wie grundständige Kenntnisse in der Logik.

Sitzungsthemen in Reihenfolge:

Literatur zur Einstimmung:
Solomon Feferman: “Proof Theory Since 1960
Solomon Feferman (2000): “
Does reductive proof theory have a viable rationale?“, in: Erkenntnis 53, S.63-96
Harvey Friedman/Stephen Simpson (2000):"Issues and Problems in Reverse Mathematics", in: Peter Cholak et al. (Hrsg.): Computability Theory and its Applications, AMS, S.127-144
Stephen Simpson (1988): “Partial Realizations of Hilbert's Program”, in: The Journal of Symbolic Logic 53(2), S.349-363

 
Literatur:
Sam Buss (Hrsg.): Handbook of Proof Theory, Elsevier 1998

Solomon Feferman (1998): In the Light of Logic, Oxford UP (ein Großteil der Aufsätze liegt im pdf-Format unter http://math.stanford.edu/~feferman/papers.html vor)
Vincent Hendricks et al. (Hrsg.): Proof Theory. History and Philosophical Significance, Kluwer 2000
Stephen Simpson (1999): Subsystems of Second Order Arithmetic, Springer

Gaisi Takeuti (1987²): Proof Theory [Aufsätze im Appendix], North-Holland

 (die genaue Textauswahl wird noch bekannt gegeben)


HS „Solomon Feferman’s Beweistheorie & Philosophie” (Mo., 12-14 Uhr)

Solomon Feferman ist zweifelsohne eine der herausragenden Persönlichkeiten der mathematischen Grundlagenforschung in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts. Wie kaum ein Zweiter verstand und versteht er sich darauf, die gewonnenen technischen Resultate in Beweistheorie und Logik philosophisch zu reflektieren. Die Philosophie der Logik und Mathematik liefert für ihn aber nicht nur eine nachträgliche Möglichkeit der Methodenkritik, sondern beeinflusste für mehr als vier Jahrzehnte maßgeblich seine Interessen in der beweistheoretischen Forschung. Die von ihm mitbegründete (und mit seinem Namen unauflöslich verbundene) reduktive Beweistheorie stellt hierbei ebenso eine Erfolgsgeschichte in der post-Hilbertschen Ära dar wie seine (zum Teil damit verbundenen) Arbeiten zur Prädikativität. So haben wir es unter anderen ihm zu verdanken, dass in der Beweistheorie eine Reformulierung und Präzisierung der Rationalitätsstandards erfolgreich vollzogen und die Leistungsstärke prädikativer Systeme andemonstriert werden konnte. Vor allem mit letzterem gelang ihm eine substantielle Kritik an platonistischen Auffassungen im Allgemeinen und einer Entkräftung von Unverzichtbarkeitsargumenten im Besonderen. Dabei bettete er die ihn leitenden erkenntnis- und geltungstheoretischen Fragen stets in jene historischen Kontexte ein, unter deren Kenntnisnahme allererst ein angemessenes Problemverständnis formulierbar ist. Man darf wohl feststellen, dass wir es vor allem ihm zu verdanken haben, dass die Beweistheorie gegenwärtig nicht nur als eine technische Disziplin in die Öffentlichkeit tritt, sondern als eine beweisende Wissenschaft mit einer eigenen Entstehungs- und Problemgeschichte, deren Zweckmäßigkeit nach wie vor durch ein grundständiges philosophisches Erkenntnisanliegen gerechtfertigt ist. Nicht selten kritisierte er die Forschungspragmatik von Kollegen, die – einzig auf das Ziel gerichtet – historische und philosophische Problembezüge ausblendeten oder gar vergaßen. So wies er etwa im Fall der Theorie der großen Kardinalzahlen darauf hin, dass das ursprüngliche (auf Gödel zurückgehende) Anliegen – ein verbessertes Verständnis der Kontinuumshypothese (CH) über einen entsprechenden Beweis innerhalb von ZF+X zu gewinnen – nicht mehr realisierbar sei, insofern die Theorie inzwischen derart starke mengentheoretische Existenzforderungen (für X) untersuchen würde, die ihrerseits weitaus schwerer zu verstehen seien als die CH selbst. Der Tarski-Schüler Feferman ist aber nicht zuletzt bekannt aufgrund seiner Rolle als Hauptherausgeber der Schriften und des Nachlasses von Kurt Gödel. Das 2003 zum Abschluss gekommene und über einen Zeitraum von gut einem Vierteljahrhundert vollzogene Projekt gilt für die Mathematik, Logik und Philosophie der formal-exakten Wissenschaften als eines der wichtigsten editorischen Projekte überhaupt. Fefermans Arbeiten zu Gödel liefern aber nicht nur erhellende und weiterführende Einsichten in dessen Resultate, sondern auch wertvolle Hinweise für die Entstehungszusammenhänge dieser prominenten Ergebnisse.
Im Seminar werden wir uns vor allem mit Fefermans Arbeiten zur reduktiven Beweistheorie und Prädikativität (sowie der damit verbundenen Kritik am „mengentheoretischen Imperialismus“) auseinandersetzen. Hierfür greifen wir vor allem auf Beiträge zurück, die in seinem Aufsatzband In the Light of Logic (1998) wiederabgedruckt wurden. Darüber hinaus werden aber auch jüngere Arbeiten berücksichtigt wie etwa „Does reductive proof theory have a viable rationale?“ (2000) und „Predicativity“ (2005). Die genaue Textauswahl wird zum Vorlesungsbeginn bekannt gegeben.

 
Quellen:
Homepage von Solomon Feferman (inkl. Veröffentlichungsliste und online PDFs)

Voraussetzungen: Grundständige Logikkenntnisse sind erforderlich; Kenntnisse in der Wissenschaftstheorie der formal-exakten Wissenschaften sind von Vorteil
Bereiche: Master Modul I, Magister C7
Scheinkriterien: Hausarbeit