Lehrveranstaltungen von Prof. Dr. Georg Hein - Wintersemster 2011/12

Informationen für Studierende


Sprechstunde im Wintersemster 2011/12: Dienstags 14-15 Uhr sowie im Anschluß an meine Lehrveranstaltungen

Lineare Algebra 1

Mathematik für WiWis

Mathematische Arbeitsweisen


Lineare Algebra 1

Scheine

Wer die Klausur meisterte, kann sich bei Frau Meinel seinen Schein abholen.
(T03 R04 D46, Di-Fr, 9-12 Uhr)

Übungsaufgaben

Blatt 1 Blatt 2 Blatt 3 Blatt 4 Blatt 5 Blatt 6 Blatt 7 Blatt 8 Blatt 9 Blatt 10 Blatt 11 Blatt 12 Blatt 13

Hinweise und Regeln zu den Übungsaufgaben

  1. Das Fach für die Übungsblätter ist das Fach Nummer 2 vor Raum T03 R03 D09.
  2. Auf jedem Blatt müssen Name, Vorname, und Übungsgruppe stehen.
  3. Besteht eine Abgabe aus mehreren Blättern, so müssen diese zusammengeklammert sein!

Inhaltsverzeichnis zur Vorlesung

Hier können Sie das kommentierte Inhaltsverzeichnis zur Vorlesung herunterladen.

Testate

Um Sie davon zu überzeugen, dass es wichtig ist die Übungsaufgaben zu lösen, schreiben wir Testate, deren Ergebnisse Ihnen ein Polster für die Klausur liefern sollten.
Testat 1 & 2

Zum Seitenanfang


Mathematik für WiWis

Das Ergebnis der Klausur vom 17.3.2012

In
dieser Tabelle finden Sie das endgültige Ergebnis nach Klausureinsicht.

Vorlesung: Montags 16.00-18.15, SH 601 (Neubau Schützenbahn, ganz oben)

Termine der Übungsgruppen

Tag Zeit Raum Tutor
Di 12:00-14:00 S03 V00 E71 Sarikaya
Di 14:00-16:00 S03 V00 E71 Colberg
Di 16:00-18:00 S03 V00 E71 Papies
Do 12:00-14:00 S05 T00 B71 Wolejko
Do 14:00-16:00 S05 T00 B71 Wehner
Do 16:00-18:00 S05 T00 B71 Hofmann
Ein Skript ist auch da. Dieses Skript deckt genau den Inhalt der Vorlesung ab.
Wer es nicht so knapp mag, dem empfehle ich das Buch Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, eine sehr ausführliche Einführung in die Mathematik mit sehr vielen vorgerechneten Aufgaben. Ich denke, dass dieses Buch Ihre Vorbereitung auf die Klausur gut unterstützen kann. Dennoch gilt: Der Kauf dieses Buches ist weder notwendig, noch garantiert er das Bestehen!

Übungsaufgaben

Blatt 1 Blatt 2 Blatt 3 Blatt 4 Blatt 5 Blatt 6 Blatt 7 Blatt 8 Blatt 9 Blatt 10 Blatt 11 Blatt 12 Blatt 13

Zum Seitenanfang


Mathematische Arbeitsweisen

13.10.2011 Mengen I

Mengen und ihre Elemente, Teilmengen, die Potenzmenge und jede Menge Beispiele.
Bei Wikipedia
hier nachzulesen.
Frage der Woche: Sei A eine Menge und P(A) ihre Potenzmenge.
Welche der folgenden beiden Aussagen ist wahr?
A ∈ P(A)
A ⊆ P(A)
Begründen Sie warum die Aussagen zutreffen bzw. nicht zutreffen!

20.10.2011 Mengen II

Das Komplement, Venn-Diagramme, Familien von Mengen
Bei Wikipedia hier zu Mengen und hier zu Venn-Diagrammen nachzulesen.
Frage der Woche: Für eine positive reelle Zahl a ∈ R definieren wir die Teilmenge MaN der natürlichen Zahlen N:
Ma = { ⌊ na ⌋ , wobei n ∈N }
Zeigen Sie, dass das Komplement von M √ 2 die Menge M 2+ √ 2 ist!
Die Frage ist in der Tat recht schwierig. Zwei Studenten führen dazu folgenden Dialog:
A: Ich habe mal geschaut und ausprobiert: Bis 100 stimmt es.
B: Du, bis 1000 auch.
A: Na, bis zu einer beliebigen Zahl kann ich es ja durch ausprobieren zeigen.
B: Na, das ist ja der gesuchte Beweis!
Untersuchen Sie, welche dieser Aussagen wahr sind. (Für die ersten beiden ist ein Computer hilfreich.)

27.10.2011 Ausagenlogik

Aussagen, Verbindungen von Aussagen (und, oder, nicht), Äquivalenz von Aussagen, Wahrheitswertetabellen, De Morgansche Regeln.
Hier ist der zugehörige Wikipedia-Link
Frage der Woche: Finden Sie eine zu P ⇔ Q äquivalente Aussage, die nur mit den Symbolen: (,),P,Q,∨ sowie der Negation ¬ auskommt.
Tipp: Ist ¬ ((¬ P) ∨ (¬ Q)) vielleicht die Lösung (oder ein Teil von ihr)?

3.11.2011 Quantoren und logisches Schließen

Quantoren (∀ und ∃) und ihre Negationen.
Hier der Wikipedia-Link
Deutsch → Logik → Deutsch
Logisches Schließen. Sieben Beispiele. Hier der Wikipedia-Link
Frage der Woche: Beweisen Sie eine der sieben Regeln des logischen Schließens.
z.B.: ((P ⇒ Q) und (Q ⇒ R)) impliziert (P ⇒ R)

10.11.2011 Die Peano-Axiome

Die Peano-Axiome
Definition der Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen
Beweisen mittels vollständiger Induktion.
Es gilt: &forall m ,n ∈ N : n+m = m+n.
Frage der Woche: Wir betrachten die beiden Folgen
an = x1n +x2n ,     wobei x1 und x2 die Nullstellen von x2-x-1=0 sind.
b0 = 2 ,     b1 = 1    und      bn+2 = bn+1 + bn
Zeigen Sie für alle n ∈ N, dass an =bn gilt!

17.11.2011 Abzählen I

Anordnungen mit und ohne Wiederholung.
Permutationen, Anzahl der Permutationen von n Elementen = n!
Sei A ein Alphabet mit n Elementen. Mit w(n) bezeichenen wir die Anzahl der aus A bildbaren Wörter, wobei kein Buchstabe doppelt vorkommen darf.
Es gilt dann: w(n)=∑m=1nk=mn k
Frage der Woche: Zeigen Sie, dass w(n) = [n! e]-1 gilt!

24.11.2011 Abzählen II

Binomialkoeffizienten sind das A und O der Kombinatorik, daher wurden sie genaustens untersucht.
Nebenbei haben wir noch die Zahl e berechnet. Hier mit 50 Nachkommastellen:

e = 2,71828182845904523536028747135266249775724709369978

Hier ist das zugehörige bc Programm, dass Ihnen e auf beliebig viele Stellen berechnet:
Frage der Woche: Wieviel Möglichkeiten gibt es die Lottozahlen zu ziehen.
Und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit von 6er, 5er, 4er, 3er, 2er, 1er und 0er?

1.12.2011 Abzählen III

Eigenschaften von Binominialkoeffizienten.
Das Pascalsche Dreieck.
Das Prinzip von Inklusion und Exklusion
Abzähltechniken.
Beispiel: Anzahl der Permutationen ohne Fixpunkt.
Frage der Woche: Heute mal als Datei.

8.12.2011 Beweisen I

Beispiele und Struktur von Sätzen
Die Rolle der Definition
Beispiele für die Definitionen von Eigenschaften ganzer Zahlen:
n ist gerade, n ist ungerade, n teilt m
Allgemeine Struktur eines direkten Beweises und warum er Aussagen vom Typ P ⇒ Q beweist.
Beispielsätze:
n gerade ⇒ n 2 gerade
n ungerade ⇒ n 2 ungerade
n gerade ⇔ n 2 gerade
Frage der Woche: Zeigen Sie, dass für alle ganzen Zahlen n die Zahl an=1+(-1)n(2n-1) durch 4 teilbar ist.

15.12.2011 Beweisen II

Fallunterscheidungen in Beweisen.
Analogiebetrachtungen und das berühmte o.B.d.A.
Struktur des indirekten Beweises. Beispiele.
Frage der Woche: Beweisen Sie den folgenden Satz sowohl direkt als auch indirekt.
Ist x2+2x+7 ungerade, so ist x gerade.

12.01.2012 Rechnen mit Kongruenzen

Definition der Kongruenz ganzer Zahlen modulo n.
Restklassen und Beispiele.
Rechnen mit Restklassen.
Satz: Für alle ganzen Zahlen m ist m5+4m durch 5 teilbar.
Frage der Woche: Beweisen Sie den folgenden Satz.
Satz Sei n eine ganze Zahl. Ist n4+n3+n2+3n+1 durch 5 teilbar, so auch n-2.

19.01.2012 Relationen

Bemerkungen zum mathematischen Stil 1: Wie schreiben wir einen Beweis auf?
Definition und Beispiele zu Relationen.
Eigenschaften von Relationen.
Graphen von Relationen auf den reellen Zahlen.
Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen.

26.01.2012 Äquivalenzrelationen

Weiter mit Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen.
Beispiele.
Eigenschaften von Äquivalenzklassen
Definition der ganzen Zahlen als Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen.
Frage der Woche: Zeigen Sie die Repräsentantenunabhängigkeit der Definition der Addition ganzer Zahlen.

2.02.2012 Konstruktion von Z aus N, sowie von Q aus Z

Diskussion der Bedeutung der Repräsentantenunabhängigkeit für verschiedene Operation auf den ganzen Zahlen.
Warum die Relation (a,b) ∼ (c,d) ⇔ ad=bc keine Äquivalenzrelation auf Z×Z ist.
Konstruktion der rationalen Zahlen.
Georg Hein, Wintersemester 2011/12, Universität Duisburg-Essen