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Vortrag zur Fermatschen Vermutung

Folien zu dem 30-minütigen Vortrag über die Fermatsche Vermutung, den ich im Juli 2008 im Wissenschaftszelt der Universität Bonn gehalten habe: pdf.

Die einzelnen Folien mit Anmerkungen

Unten sind viele Links auf die deutschen Wikipedia-Seiten gegeben. Oft lohnt es sich, auch die entsprechende englischsprachige Seite anzuschauen (die immer am linken Rand der deutschsprachigen Seite verlinkt ist).



Fermat hat seine Vermutung als Randnotiz um 1640 in seiner Ausgabe von Diophants Arithmetika festgehalten.

Ein wesentlicher Punkt von Fermats Notiz, der dazu beigetragen hat, dass seine "Vermutung" die Mathematiker seitdem gefesselt hat, ist sicher, dass er in den letzten beiden Sätzen behauptet, einen Beweis dieser Aussage zu besitzen, der jedoch nicht auf diesen Rand passt.



Fermat hat sich nicht hauptberuflich, sondern als Amateur mit Mathematik beschäftigt, aber verschiedene wichtige Beiträge zur Mathematik geleistet: nicht nur zur Zahlentheorie, sondern beispielsweise auch als Mitbegründer der Wahrscheinlichkeitstheorie. Dabei gingen seine Methoden jedoch nicht über "Schulmathematik" hinaus (aber natürlich war er sehr geschickt in ihrer Anwendung).

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Der Name "Pythagoräische Zahlentripel" spielt auf den Satz des Pythagoras an: zu jedem solchen Zahlentripel erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck deren Seitenlängen die drei gegebenen Zahlen sind, das also insbesondere ganzzahlige Seitenlängen hat. Bereits die babylonische Keilschrifttafel Plimpton 322 (ca. 1700 v. Chr.) enthält eine Liste mit 15 Pythagoräischen Zahlentripeln (mit recht großen Zahlen, zum Beispiel: 3367, 11018, 11521).

Pythagoras (450 v. Chr.) hatte bereits einen Spezialfall der angegebenen allgemeinen Formel entdeckt und damit gewissermaßen unendlich viele Zahlentripel angegeben. Euklid (300 v. Chr.) waren die angegebenen Formeln bekannt (ebenso wie dem indischen Mathematiker Brahmagupta (600 n. Chr.)

Zu der angegebenen Formel sollte man genauer sagen, dass man unter der Zusatzbedingung, dass die Zahlen u, v teilerfremd sind, und genau eine von ihnen gerade ist, gerade alle primitiven Pythagoräischen Tripel erhält, also solche, in denen x und y teilerfremd sind.



Dieser Fall wurde bereits von Fermat behandelt, mit dem Beweis, der hier skizziert wird. Er nannte diese Methode die Methode des unendlichen Abstiegs. Man beachte den trickreichen Ansatz, eine stärkere Behauptung als die eigentlich gewünscht zu zeigen, was den "Induktionsschritt" erst ermöglicht.

Es dauerte etwa 100 Jahre, bis Euler den Fall n=3 der Fermatschen Vermutung bewies, und ungefähr weitere 100 Jahre, bis die Fälle n=5 und n=7 behandelt wurden.

Aus der Mordell-Vermutung (die 1983 von Faltings bewiesen wurde) folgt, dass es für festes n höchstens endlich viele teilerfremde Lösungen der Fermat-Gleichung geben kann.


Wiles hat 1993 auf einer Konferenz in Cambridge angekündigt, einen Beweis der Shimura-Taniyama-Weil-Vermutung zu besitzen, aus der die Fermatsche Vermutung folgt (siehe unten). Es stellte sich dann aber heraus, dass sein Beweisvorschlag einen Fehler enthielt. Es gelang Wiles aber (mit der Hilfe von Richard Taylor), die Beweisstrategie etwas abzuwandeln und schließlich einen korrekten Beweis vorzulegen. Dieser wurde 1995 in den Annals of Mathematics veröffentlicht.

Da Wiles die Altersgrenze von 40 Jahren bereits knapp überschritten hatte, hat er nicht die Fields-Medaille (den "Nobel-Preis der Mathematiker") bekommen. Er erhielt aber eine Vielzahl anderer Preise (zum Beispiel den Schock-Preis, den Cole-Preis, den Wolf-Preis, den Wolfskehl-Preis und den Shaw-Preis) und wurde zum Knight of the British Empire geadelt.

Wiles war kein Nobody auf dem Gebiet der Zahlentheorie, als er seinen Beweis vorlegte, sondern ganz im Gegenteil: er war schon über 10 Jahre Professor an der renommierten Princeton University.

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Die angegebene Gleichung wird eine elliptische Kurve genannte. Diese Gleichungen haben eine enorme Bedeutung in der algebraischen Geometrie und Zahlentheorie. Eine der wichtigen offenen Vermutungen der Zahlentheorie, die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer betrifft die Frage, wie man an einer solchen Gleichung ablesen kann, wie viele rationale Lösungen sie besitzt (da es in der Regel unendlich viele sind, muss man noch präzisieren, was man damit meint).



In der Variante betrachtet man - in einem gewissen Sinne - Näherungslösungen der gegebenen Gleichung. Das hat einerseits den Effekt, dass es leichter wird, Lösungen zu finden. Andererseits ist es ausreichend für gewähltes p die Unbestimmten nur in der Menge der Zahlen zwischen 1 und p variieren zu lassen, so dass man die Anzahl der Lösungen zählen kann.


Die Shimura-Taniyama-Weil-Vermutung wurde von Wiles (und Taylor) für eine große Klasse elliptischer Kurven bewiesen (die groß genug ist, um Freys Idee anzuwenden). Inzwischen ist die Arbeit durch eine Arbeit von Breuil, Conrad, Diamond und Taylor vollständig bewiesen.

Frey hatte seine Idee im Jahr 1985. Diese (hypothetischen) elliptischen Kurven waren auch früher bereits von Hellegouarch betrachtet worden. Ribet bewies 1986, dass Frey Recht hatte.



An dieser mehr oder weniger willkürlich herausgegriffenen Seite aus Wiles' Arbeit sieht man mehrere Charakteristika: statt expliziter Rechnungen hat man es mit viel Text zu tun: es werden Argumente erklärt. Dabei wird eine umfangreiche mathematische Symbolsprache benutzt, die nur dem Spezialisten zugänglich ist.

Auch wenn sich Wiles während der Zeit, in der er an seinem beweis arbeitete, in ungewöhnlicher Weise von der mathematischen Fachwelt isoliert hat, wird auch in seiner Arbeit deutlich, dass er Vorarbeiten einer Vielzahl von anderen Mathematikern benutzt. Sein Aufsatz enthält direkte Verweise auf 84 andere Artikel, und damit auf tausende von Seiten moderner Mathematik, die zum allergrößten Teil erst nach 1950 entstanden ist.



Die Abbildungen zeigen eine französische und eine tschechische Briefmarke, die sich dem Fermatschen Problem widmen und hier stellvertretend dafür stehen, was für ein großes Echo die Lösung des Problems durch Wiles auch in der Öffentlichkeit gefunden hat. Beispielsweise brachte die New York Times mehrere Artikel dazu, teilweise auf der Titelseite.

Warum war das Echo in der Öffentlichkeit so groß? Ein wichtiger Grund war sicher, dass die Fermatsche Vermutung so einfach zu erklären ist, dass sie jeder verstehen kann, und dennoch ein so schwieriges Problem darstellt. Dadurch haben sich auch in den vergangenen 350 Jahren stets viele Mathematikamateure damit beschäftigt, nach einem Beweis dieser Aussage zu suchen. Dieses Interesse wurde noch angeheizt durch den Wolfskehl-Preis (siehe unten).

Dieses große Interesse der Öffentlichkeit an dem Durchbruch von Wiles war auch aus Sicht der Mathematiker-Gemeinschaft gerechtfertigt, allerdings weniger deswegen, weil nun feststand, dass die Fermat-Gleichung tatsächlich keine nicht-trivialen Lösungen besitzt, sondern weil die Shimura-Taniyama-Weil-Vermutung nun bewiesen war - diese hat eine ungleich höhere Relevanz in der Zahlentheorie - und weil Wiles eine Reihe von neuen und hochinteressanten Methoden entwickelt hat, die nun auch das Studium anderer ähnlich gelagerter Probleme erlauben, und auch faszinierende neue Fragen aufwerfen. Nicht zuletzt fügt sich das Ergebnis von Wiles in das sogenannte Langlands-Programm ein, ein Gebäude von Vermutuungen in der algebraischen Zahlentheorie und der Darstellungstheorie, das die Entwicklung dieser Disziplinen in den vergangenen 50 Jahren wesentlich beeinflusst hat.


Weitere Fragen, die man in einem solchen Vortrag diskutieren könnte:

Hatte Fermat einen Beweis? Es ist klar, dass Fermat nicht den heute bekannten Beweis im Kopf gehabt haben kann, als er seine Randnotiz niederschrieb. Die plausibelste Annahme ist sicher, dass die Argumentation, an die er dachte, einen Fehler enthielt. Man muss ihm natürlich auch zugute halten, dass er seine Behauptung nicht von ihm selbst, sondern - nach seinem Tod - von seinem Sohn veröffentlicht wurde. Es ist sogar so, dass Fermat selbst sich an anderer Stelle später mit Beweisen für seine Behauptung für feste Exponenten (insbes. n=4 befasst hat - das wäre ja nicht nötig gewesen, hätte er einen allgemeinen Beweis gekannt.


Gibt es einen elementaren Beweis? Eine ähnliche Frage ist, ob es überhaupt einen "elementaren" Beweis der Fermatschnen Vermutung gibt.


Der Wolfskehl-Preis Die Königliche Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen schrieb 1908 einen Preis aus, der von Paul Wolfskehl für die Lösung des Fermat-Problems gestiftet worden war:

Auf Grund des von dem verstorbenen Herrn Dr. Paul Wolfskehl in Darmstadt uns zugewendeten Vermächtnisses wird hiermit ein Preis von 100000 Mk., in Worten: "Einhunderttausend Mark", für denjenigen ausgesetzt, dem es zuerst gelingt, den Beweis des großen Fermatschen Satzes zu führen. ...Falls der Preis bis zum 13. September 2007 nicht zuerkannt ist, können Ansprüche auf ihn nicht mehr erhoben werden."

Die ausgeschriebene Summe war ein Vermögen. Über den entsprechenden heutigen Wert variieren die Angaben zwischen 700000 EUR und 2,5 Millionen EUR. Aufgrund der Inflation nach dem ersten Weltkrieg war das Preisgeld jedoch stark geschrumpft (auf etwa 40000 EUR), als Wiles den Preis erhielt. Zum hundertsten Jahrestag wurde am 30.6.2008 in Darmstadt ein Festkolloquium abgehalten, an dem auch Wiles vorgetragen hat.


Offene Vermutungen Das Fermatsche Problem ist nun gelöst, aber die mathematische Forschung geht weiter. Es gibt viele offene Fragen und Vermutungen; einige der prominentesten sind in der Liste des Clay Institutes zusammengefasst. Die Lösung eines der sieben Probleme aus dieser Liste wird mit 1 Million US$ belohnt. (Das einzige dieser Probleme, das bislang gelöst werden konnte, ist die Poincaré-Vermutung, bewiesen von G. Perelman.)