Hieroglyphen, Holzkerben, Knotenschnüre, Keilschrift in Tonplatten, …: Verschiedene Kulturen haben ganz unterschiedliche Zahldarstellungen verwendet. Die Vielfalt drückt sich nicht nur durch die verwendeten Medien, sondern auch durch die Art und Weise aus, wie man zu immer größeren Zahlen gelangt. In diesem Workshop werden verschiedene Zahldarstellungen vorgestellt, selber Erfahrungen damit gesammelt und die Vor- und Nachteile der jeweiligen Darstellung herausgearbeitet.

Zahlenmauern sind ein produktives Aufgabenformat zum Üben und Entdecken, das ab Klasse 5 bis zum Abitur substanzielle mathematische Betrachtungen ermöglicht: Kann eine Plus-Zahlenmauer nur mit Quadratzahlen oder nur mit Primzahlen gefüllt werden? Welche Belegung der unteren Steine ist möglich, wenn nur die Zahl im oberen Stein vorgegeben wird? Was passiert, wenn andere Rechenarten verwendet werden, oder in anderen Zahlbereichen?

Das Umwandeln von Brüchen ihre Dezimaldarstellung klingt zunächst nach einer „technischen“ Übung – es kann aber auch der Beginn einer spannenden Entdeckungsreise sein. Im Workshop werden arbeitsteilig möglichst viele Brüche betrachtet, Muster entdeckt und davon ausgehend einige Fragen vertieft untersucht: Welche Brüche haben eine endliche Dezimalentwicklung, welche eine unendliche? Warum gibt es keine Brüche mit nichtperiodischer unendlicher Dezimalentwicklung?

Welche verschiedenen Arten von Vierecken gibt es? Wie kann man die Flächeninhalte von Dreiecken und besondere Vierecken berechnen? Welche Innenwinkelsumme hat ein n-Eck? Solche Fragen werden in der Sekundarstufe I häufig über viele Unterrichtsreihen verteilt geklärt. Im Workshop werden die entsprechende Resultate ausgehend vom Handeln mit Material (ebene Figuren, vor allem Dreiecke) von den Schüler:innen selbst entdeckt.

Beim Parkettieren des Fußbodens, beim Pflastern eines Gehwegs oder in der Kunst zeigen Überdeckungen der Ebene mit ein oder zwei Grundfiguren ihre Nützlichkeit, aber auch ihre Schönheit. Auch mathematisch sind Pflasterungen bzw. Parkettierungen reichhaltig: Welche Grundformen kommen hierfür infrage? Wie lassen sich Grundformen gezielt entwickeln? Solche Fragen lassen sich durch konkretes Handeln und theoretisches Reflektieren klären.

Heutzutage hat geradezu jede Person immer ein Smartphone und damit ein Navigationsgerät griffbereit. Doch abgesehen davon, beim richtigen Ziel anzukommen, möchte man dieses auch möglichst schnell oder auf möglichst kurzem Weg erreichen. Die Berechnung soll dabei möglichst in Echtzeit erfolgen, falls man falsch abgebogen ist. Im Workshop wird ein Algorithmus zur Berechnung des kürzesten Weges gemeinsam erarbeitet.

Wenn beim Mensch-ärgere-Dich-nicht mal wieder keine Sechs fällt, wenn man sie dringend benötigt, kann das doch kein Zufall sein – oder? Ausgehend von konkreten Zufallsexperimenten wird im Workshop über den Zufall nachgedacht und es werden verschiedenen Möglichkeiten, Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen diskutiert. Prägend ist dabei das Wechselspiel von Vermuten (Schätzen von Häufigkeiten), Durchführen (von Zufallsexperimenten) und Reflektieren (der Ergebnisse).

Ein magisches Quadrat ist eine quadratische Anordnung mehrerer Zahlen, bei der sämtliche Spalten- und Zeilensummen sowie Diagonalensummen gleich sind. Auf den ersten Blick erscheint das Finden solcher Quadrate eine anspruchsvolle Knobelaufgabe zu sein. Mithilfe mathematischer Überlegungen können wir aber die Struktur der magischen Quadrate verstehen. So können viele magische Quadrate gefunden und weitere spannenden Einsichten erlangt werden.

Das Universalgenie Leonardo da Vinci erfand eine besondere Brücke, die nur aus Holzlatten ohne weiteres Befestigungsmaterial gebaut und entsprechend einfach wieder abgebaut werden kann. Im Workshop werden solche Brücken nachgebaut und genauer betrachtet: Wie viele Brückensegmente kann man höchstens ineinanderstecken, bis die Brücke keinen Sinn mehr ergibt? Welchen Abstand kann man hiermit überbrücken?

Jedes n-Eck hat aus n Ecken, genauso vielen Kanten und der eingeschlossenen Fläche – das ist klar! Welche Beziehung zwischen Ecken, Kanten und Flächen gibt es bei Körpern? Der Eulersche Polyedersatz klärt diesen Sachverhalt für konvexe Polyeder. Mithilfe von Material wird das dreidimensionale Problem in ein zweidimensionales überführt. Daran kann die Aussage des Satzes entdeckt und ein Beweis geführt werden.

Dem Papierformat DIN A begegnen wir (trotz aller Digitalisierung) praktisch jeden Tag. Die Idee hinter diesem Format ist dabei genial und lässt sich kurz darstellen: Mit nur schlüssigen drei Anforderungen (Ähnlichkeit, Halbierung, Normierung) sind die Maße des Papierformats festgelegt. Im Workshop können die Schüler:innen das Papierformat entdecken, wobei sie (passend unterstützt) sowohl geometrisches als auch algebraisches Wissen einsetzen.

In der theoretischen Führerscheinprüfung oder bei „Wer wird Millionär?“ können – mit etwas Glück – richtige Antworten auch geraten werden. Ausgehend von einem Wissensquiz können die Schüler:innen im Workshop gemeinsam überlegen, ab wie vielen richtigen Antworten sie davon ausgehen, dass jemand etwas gewusst und nicht nur geraten hat. Entsprechende Überlegungen können auf die Grundideen von Hypothesentests und der Binomialverteilung führen.

Im Workshop werden vier unterschiedlich beschriftete Würfel untersucht: Welcher ist in dem Sinne der beste, dass er beim Werfen zweier Würfel gegeneinander mit hoher Wahrscheinlichkeit größere Zahlen zeigt? Das überraschende Ergebnis ist: Es gibt keinen besten, sondern zu jedem immer einen anderen der besser ist. Nach einigen entsprechenden Spielen liefern etwas Kombinatorik und z. B. einfache Baumdiagramme die Einsicht …

Um eine grobe Näherung der irrationalen Zahl Pi zu erhalten kann man z. B. Umfänge und Durchmesser von runden Objekten messen und ins zueinander Verhältnis setzen. Dieses empirische Verfahren ist allerdings ungenau und lässt sich nicht beliebig verbessern. Mit der archimedischen Methode zur Bestimmung der Kreiszahl, lässt sich diese ohne praktisches Messen durch theoretische Überlegungen grundsätzlich beliebig genau annähern.

Wurzeln können z. B. mit Intervallschachtelungen angenähert werden. Aber die gängige Zehnteilungsmethode ist auch bei Verwendung eines Taschenrechners recht aufwändig und liefert nur langsam genauere Näherungswerte. Bereits im antiken Griechenland wurden Wurzeln mit dem sogenannten Heron-Verfahren approximiert, welches auf einer nachvollziehbaren geometrischen Idee beruht. Ein Vorzug dieses Verfahrens ist, dass es bereits nach wenigen Schritten ziemlich genaue Werte liefert.

Manhattan ist für seine schachbrettartige Anordnung der Straßen bekannt. Danach ist der sogenannte „Manhattan-Abstand“ benannt worden: Wer mit einem Auto von einem Punkt zu einem anderen fährt, findet mehrere mögliche Wege auf dem Schachbrett, die alle die gleiche Länge haben, aber länger als die Luftlinie sind. Wenn man bekannte Figuren mit diesem Abstand definiert, werden Kreise eckig …

Mit digitalen Anzeigen lassen sich „dynamische Geschwindigkeitsbeschränkungen“ realisieren: Je nach Wetterlage oder Verkehrsdichte werden dabei unterschiedliche Höchstgeschwindigkeiten vorgeschrieben. Dies führt zur Frage, ob es eine optimale Geschwindigkeit für einen möglichst hohen Verkehrsfluss gibt. Im Workshop werden entsprechende Modellierungen unter Einbeziehung der Schüler:innen entwickelt. Die Antworten, die daraus resultieren, werden anschließend mit realen Messdaten verglichen.

Bei welchen Maßen wird der Verpackungsverbrauch einer Milchtüte minimal, wenn ein Volumen von einem Liter vorgegeben ist? Was zunächst nach einer schematisch lösbaren Routineaufgabe klingt, wird interessanter, wenn man es genau nimmt, Kleberänder berücksichtigt und verschiedene Möglichkeiten der Vereinfachung nachdenkt. So wird im Workshop ein offener Modellierungsprozess angeregt, um ein authentisches Bild auf mathematisches Modellieren zu vermitteln.