Bitte füllen Sie den Evaluationsbogen aus.

Gegenstand der Variationsrechnung sind Funktionale, also Abbildungen 𝓕: X → R auf einem Funktionenraum X ⊂ { u: Ω → R } mit Ω ⊂ Rⁿ, für die Minimierer gesucht werden, d. h. u ∈ X mit 𝓕(u) ≤ 𝓕(v) für alle v ∈ X.

Zunächst ist zu fragen, ob solche Minimierer überhaupt existieren, vielleicht sogar eindeutig sind, und welche weiteren Eigenschaften sie besitzen. Von besonderem Interesse ist ihre Regularität, d. h. Existenz und Stetigkeit von Ableitungen höherer Ordnung.

Eine große Zahl von Variationsproblemen führt auf Funktionale der Gestalt 𝓕(v) = ∫_Ω F(x,v(x),∇v(x)) dx mit einer geeigneten Funktion F: Ω ⨉ R ⨉ Rⁿ → R, die im Zentrum dieser Vorlesung stehen.

Zu Beginn werden wir einige funktionalanalytische Werkzeuge einführen; hierzu gehört insbesondere die Klasse der Sobolev-Funktionen.

Übungen

Aufgabenblätter sowie ein Kurzskript sind in Moodle verfügbar.

Voraussetzungen

Analysis 1 – 3 sowie Lineare Algebra 1

Literatur

• Buttazzo, Giaquinta, Hildebrandt: One-dimensional variational problems (Oxford Science Publications, 2005)
• Dacorogna: Direct methods in the calculus of variations (Springer, 2008)
• Dacorogna: Introduction to the calculus of variations (Imperial College Press, 2015)
• Giaquinta, Hildebrandt: Calculus of variations 1 (Springer, 2009)
• Hildebrandt: Analysis 1 (Springer, 2006)
• Hildebrandt: Analysis 2 (Springer, 2003)
• Kosmol: Optimierung und Approximation (De Gruyter, 2010)

Im Rahmen der Vorlesung werden alle zwei Wochen Übungsaufgaben gestellt und besprochen.

Bonus
Dreimaliges Vorrechnen von Übungsaufgaben erhöht die Note – sofern möglich – um eine Drittelstufe.

Übungsaufgaben

werden in der Vorlesung ausgegeben.